Прямые и плоскости в пространстве

Сведения из теории

Чтобы успешно решать задачи по аналитической геометрии на взаимное расположение плоскостей и прямых в пространстве, нужно:

• знать уравнения, задающие плоскости и прямые в пространстве;
• понимать геометрический смысл компонентов, входящих в эти уравнения;
• уметь вычислять определители матриц третьего порядка.

Плоскость в пространстве однозначно задаётся тремя принадлежащими ей точками M₀, M₁ и M₂, которые не лежат на одной прямой (рис. 1).

Эквивалентным образом плоскость может быть задана принадлежащей ей точкой M₀ с координатами (x₀; y₀; z₀) и двумя векторами: a = M₀M₁ = (x₁ - x₀; y₁ - y₀; z₁ - z₀) и b = M₀M₂ (x₂ - x₀; y₂ - y₀; z₂ - z₀)

Каноническое уравнение плоскости имеет вид:

Коэффициенты A, B и C при координатах x, y и z принадлежащих плоскости точек являются компонентами вектора n, перпендикулярного задаваемой уравнением плоскости, — нормального вектора (рис. 2).

Зная координаты координаты точки M₀, принадлежащей плоскости, и координаты двух лежащих в плоскости векторов a и b, можно получить каноническое уравнение этой плоскости. Для этого надо вычислить определитель:

и составить уравнение, приравняв нулю полученный результат.

Поскольку геометрическое место точек пространства, одновременно принадлежащих двум пересекающимся плоскостям, есть прямая линия, то система двух уравнений, описывающих не параллельные и не совпадающие плоскости, задаёт эту прямую (рис. 3):

Как узнать, что плоскости не параллельны? Очень просто: их нормальные векторы не должны быть коллинеарны. С математической точки зрения, для того, чтобы плоскости пересекались, не должно выполняться условие:

Множество плоскостей, содержащих одну и ту же прямую, образуют пучок плоскостей. Если плоскость входит в пучок, то её уравнение должно удовлетворять условию:

где хотя бы один из коэффициентов u или v не равен нулю.

Другой способ задания прямой — через принадлежащую ей точку M₀ и направляющий вектор r (рис. 4):

Отношения, составляющие последнее равенство, вообще говоря равны какому-то конкретному значению t. Поэтому можно записать параметрическое уравнение прямой в пространстве:

Решение задачи

Продемонстрируем использование теоретических сведений для решения задачи. Пусть дана точка M₁ (1, 3, -1) и прямая L, заданная уравнением:

Требуется найти уравнение плоскости в которой лежат точка M и прямая L.

Сразу бросается в глаза ноль в знаменателе первой дроби уравнения прямой. Известно, что делить на ноль нельзя. Однако в аналитической геометрии эта запись носит символический характер — в знаменателях дробей уравнения прямой записываются компоненты её направляющего вектора, а наличие нулевых компонентов у вектора допустимо. В приведенном примере это означает, что направляющий вектор прямой параллелен координатной плоскости YOZ.

Для нахождения уравнения плоскости в пространстве нужно знать принадлежащую ей точку и два не коллинеарных вектора, лежащих в этой плоскости. Точку возьмём прямо из условия задачи — M₁. Из записи уравнения прямой можно дополнительно извлечь координаты точки M₀, принадлежащей этой прямой, и направляющего вектора r (см. общий вид уравнения прямой выше в теоретических сведениях): M₀ (2; -2; -3) и r (0; 3; 5). Прямая L принадлежит плоскости по условию задачи, поэтому вектор r тоже будет лежать в нужной плоскости, точно так же, как и точка M₀, принадлежащая прямой.

Почему вторая координата точки M₀ равна (-2), а не (-8)? Потому что коэффициенты при переменных x, y и z в уравнении прямой должны быть равны единице, а в приведенном примере коэффициент при y равен четырём. Чтобы привести центральную дробь в соответствие с общим уравнением прямой, нужно её числитель и знаменатель разделить на одно и то же число — четыре. В результате такого преобразования уравнение прямой примет вид:

По той же причине вторая координата вектора r равна 3, а не 12.

Координаты точки M₀ должны быть такими, чтобы при их подстановке в уравнение прямой вместо соответствующих переменных, числители обращались в ноль. Это правило поможет не запутаться со знаками " + " и " - " координат точки M₀.

На текущий момент нам известны две точки M₀ и M₁, принадлежащие искомой плоскости, и лежащий в этой плоскости вектор r. А для нахождения уравнения плоскости требуются точка и два вектора. Второй вектор m можно определить, приняв за его начало точку M₀, а конец — точку M₁:

Составим определитель DET из точки M₁ и векторов r и m:

вычислим его разложением по первой строке:

и приравняем нулю:

Проверка полученного решения

Итак, мы нашли уравнение плоскости. Но как быть, если оно не совпадает с ответом, приведенным в задачнике? Или, предположим, Петя Иванов тоже решил эту задачу, но получил другой ответ:

Кто из нас прав? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно проверить уравнения на соответствие условию задачи. Если точка принадлежит плоскости, то подстановка её координат в уравнение должна превращать его в верное равенство. Итак, проверим точку M₁ (1;3;-1) сначала для нашего уравнения:

Нашему уравнению точка M₁ удовлетворяет. А уравнению Пети Иванова?

Тоже удовлетворяет! Придётся проверить точку M₀ (2; -2; -3). Снова сначала для нашего уравнения:

С нашим уравнением всё в порядке. А что по поводу уравнения Пети Иванова?

Получили тоже верное равенство! Неужели два разных уравнения задают одну и ту же плоскость?! Вспомним, что для однозначного задания плоскости требуется указать как минимум три принадлежащие ей точки, а мы проверили только две. Но где взять третью точку?

Самое время вспомнить о том, что у нас есть два вектора: r и m, которые лежат в плоскости. Тогда для получения третьей точки достаточно "шагнуть" от любой имеющейся точки в направлении вектора. Например, возьмём точку M₀ и сместимся на единицу в направлении вектора r. Полученная таким образом точка M₂ (2;1;2) будет лежать на прямой L. Выполним проверку для этой точки:

Для нашего уравнения по-прежнему получили верное равенство. Проверяем уравнение Пети Иванова:

А вот и расхождение. Значит, из двух уравнений верным решением задачи является именно наше.

Использованные материалы

1. Лекции Бояршинова Б. С. по аналитической геометрии на сайте НОУ ИНТУИТ (https://www.intuit.ru/).
2. А. П. Веселов, Е. В. Троицкий. Лекции по аналитической геометрии.